大多数金属都不是纯弹性或纯塑性材料，在冷却过程中往往会发生塑性至弹性的转变。以铸铁为例，这个塑性-弹性转变温度区间为700-400℃。

现以厚薄不均匀的T型梁（图2-1）为例来讨论残余应力的形成过程。T型梁铸件由较厚的杆Ⅰ和较薄的杆Ⅱ组成。为了简化分析，需作以下假设：

1.两杆有同一温度 tn 开始冷却，最后冷却至同一温度t0

2.合金的塑——弹性转变是在一个临界温度tk下发生的。高于tk合金处于塑性状态；低于tk合金处于弹性状态；

3.冷却过程中不发生相变，铸件的收缩不受铸型阻碍；

4.材料的线膨胀系数α和弹性模量为一常数，不随温度变化；

5.杆Ⅰ和.杆Ⅱ之间无热交换

图2-1a示出杆Ⅰ和杆Ⅱ的冷却曲线（t--τ）。开始冷却时两杆温度均为tH，冷却至最后的温度均为t0.由于杆Ⅱ比杆Ⅰ薄。故开始冷却时杆Ⅱ比杆Ⅰ冷却快；后期，杆Ⅰ的冷却速度比杆Ⅱ快。

由于假定线膨胀（收缩）系数为一常数，故铸件在各个温度时的自由收缩量ξ与温度成正比，线收缩曲线（ξ——τ）在外形上与冷却曲线（t--τ）一致（图3-1b）.虚线C0C3是两杆联在一起时实际的（即T型梁铸件的）线收缩曲线。

如果T型梁铸件在应力作用下不产生弯曲变形，则两杆中的残余热应力与所产生的弹性变形（）有关。以σⅠ、σⅡ表示杆Ⅰ和杆Ⅱ的应力；F1和F2表示两杆的截面积，则
杆Ⅰ所受拉力为PⅠ=σⅠF1
杆Ⅱ所受拉力为PⅡ=σⅡFⅡ
由杆系中各力平衡∑p=0，有σⅠF1=σⅡFⅡ（1-1）

假设材料在拉伸和压缩时弹性模量相等，其值为E,则根据虎克定律：σⅠ=EξⅠ σⅡ=EξⅡ

由图1-3可知，两杆长度的差值a3b3=ξⅠξⅡ，其值与杆Ⅰ温度为tk时两杆的温度差（tⅠ -tⅡ）称正比，即ξ1ξ1Ⅰ=a?（tⅠ -tⅡ）

或σⅠσⅡ=E?a?（tⅠ -tⅡ） （1-2） 或式（1-2）与 式（1-3） 联立，可得：

杆Ⅰ的拉应力：σⅠ=FⅡE?a?（tⅠ -tⅡ）/（FⅠ+FⅡ） （1-3）

杆Ⅱ的拉应力：σⅡ=FⅠE?a?（tⅠ -tⅡ）/（FⅠ+FⅡ） （1-4）

由式（1-4）可以看出，铸造应力与粗、细杆的面积，材料的线膨胀系数和粗杆到塑—弹性转变温度时粗细杆的温度有关。

由上所述，可以知道铸件热应力的形机理：在金属冷却过程中，由塑性状态转变为弹性状态时，壁厚不同的部分进入弹性状态的先后不同，产生了不均匀的塑性变形。当铸件厚壁均为弹性状态时，这个塑性变形差值需要靠产生的弹性变形来补偿，这样就使铸件的不同部位上产生了符号、大小不同的残余应力。在高于或低于这个温度区间内，冷却速度对残余应力实际上没有影响。